Sturm-Liouville-problem, eller egenværdiproblem, i matematik, en bestemt klasse af partielle differentialligninger (PDE'er) underlagt ekstra begrænsninger, kendt som grænseværdier, på løsningen. Sådanne ligninger er almindelige i både klassisk fysik (f.eks. Termisk ledning) og kvantemekanik (f.eks. Schrödinger ligning) for at beskrive processer, hvor en eller anden ekstern værdi (grænseværdi) holdes konstant, mens interessesystemet overfører en form for energi.
I midten af 1830'erne arbejdede de franske matematikere Charles-François Sturm og Joseph Liouville uafhængigt af problemet med varmeledning gennem en metalbjælke i processen med at udvikle teknikker til løsning af en stor klasse af PDE'er, hvor den enkleste var formen [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 hvor y er en fysisk mængde (eller den kvantemekaniske bølgefunktion) og λ er en parameter eller egenværdi, der begrænser ligningen så at y tilfredsstiller grænseværdierne ved slutpunkterne i det interval, som variablen x varierer over. Hvis funktionerne p, q og r opfylder passende betingelser, vil ligningen have en familie af løsninger, kaldet egenfunktioner, der svarer til egenværdiløsningerne.
For det mere komplicerede ikke-homogene tilfælde, hvor højre side af ovennævnte ligning er en funktion, f (x), snarere end nul, kan egenværdierne af den tilsvarende homogene ligning sammenlignes med egenværdierne af den oprindelige ligning. Hvis disse værdier er forskellige, har problemet en unik løsning. På den anden side, hvis en af disse egenværdier matcher, vil problemet hverken have nogen løsning eller en hel familie af løsninger, afhængigt af egenskaberne for funktionen f (x).
