Riemann-hypotese, i talteori, hypotese af den tyske matematiker Bernhard Riemann om placeringen af løsninger til Riemann zeta-funktionen, som er forbundet med primtalstoremet og har vigtige implikationer for fordelingen af primtal. Riemann inkluderede hypotesen i et papir, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Om antallet af primærnumre mindre end et givet antal"), der blev offentliggjort i november 1859-udgaven af Monatsberichte der Berliner Akademie ("Månedlig anmeldelse af Berlin-akademiet ”).
Zeta-funktionen er defineret som den uendelige serie ζ (r) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, eller, i mere kompakt notation, , hvor summationen (Σ) af udtryk for n løber fra 1 til uendelig gennem de positive heltal og s er et fast positivt heltal større end 1. Zeta-funktionen blev først undersøgt af den schweiziske matematiker Leonhard Euler i det 18. århundrede. (Af denne grund kaldes det undertiden Euler zeta-funktionen. For ζ (1) er denne serie simpelthen den harmoniske serie, der er kendt siden antikken at stige uden at blive bundet - dvs. dens sum er uendelig.) Euler opnåede øjeblikkelig berømmelse, når han bevist i 1735 at ζ (2) = π 2 / 6- et problem, der var blevet opstillet de største matematikere i den æra, herunder den schweiziske Bernoulli familien (Jakob, Johann, og Daniel). Mere generelt opdagede Euler (1739) en forbindelse mellem værdien af zeta-funktionen for jævne heltal og Bernoulli-numrene, som er koefficienterne i Taylor-seriens udvidelse af x / (e x - 1). (Se også eksponentiel funktion.) Endnu mere forbløffende opdagede Euler i 1737 en formel, der vedrører zeta-funktionen, som involverer en summering af en uendelig række af udtryk, der indeholder de positive heltal, og et uendeligt produkt, der involverer hvert primtal:
Riemann udvidede undersøgelsen af zeta-funktionen til også at omfatte de komplekse tal x + iy, hvor i = kvadratrod af √ 1, bortset fra linjen x = 1 i det komplekse plan. Riemann vidste, at zeta-funktionen er lig med nul for alle negative lige tal −2, −4, −6,
(såkaldte trivielle nuller), og at det har et uendeligt antal nuller i den kritiske strimmel af komplekse tal, der falder strengt mellem linjerne x = 0 og x = 1. Han vidste også, at alle ikke-nul-nuller er symmetriske med hensyn til kritisk linje x = 1 / 2. Riemann formodede, at alle ikke-nulstillede nuller er på den kritiske linje, en formodning, der senere blev kendt som Riemann-hypotesen.
I 1914 matematiker engelsk Godfrey Harold Hardy bevist, at et uendeligt antal opløsninger af ζ (s) = 0 eksisterer på den kritiske linje x = 1 / 2. Derefter blev det vist af forskellige matematikere, at en stor del af løsningen skal ligge på den kritiske linje, skønt de hyppige ”bevis” på, at alle de ikke-trivielle løsninger er på den, er mangelfulde. Computere er også blevet brugt til at teste løsninger, med de første 10 billioner ikke-trivielle løsninger, der viser sig at ligge på den kritiske linje.
Et bevis på Riemann-hypotesen ville have vidtrækkende konsekvenser for taleteori og for brugen af primater i kryptografi.
Riemann-hypotesen er længe blevet betragtet som det største uløste problem i matematik. Det var et af 10 uløste matematiske problemer (23 i den trykte adresse), der blev præsenteret som en udfordring for det 20. århundrede matematikere af den tyske matematiker David Hilbert på den anden internationale kongres for matematik i Paris den 8. august 1900. I 2000 amerikansk matematiker Stephen Smale opdaterede Hilberts idé med en liste over vigtige problemer i det 21. århundrede; Riemann-hypotesen var nummer et. I 2000 blev det udnævnt til et tusindproblem, et af syv matematiske problemer valgt af Clay Mathematics Institute i Cambridge, Mass., USA, til en særlig pris. Løsningen for hvert Millennium Problem er værd $ 1 million. I 2008 anførte US Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA) det som en af DARPA-matematiske udfordringer, 23 matematiske problemer, som det anmodede om forskningsforslag til finansiering af - ”Matematisk udfordring Nitten: Afvikle Riemann-hypotesen. Den teoretiske hellig gral. ”
