Hippokrates of Chios (fl. Ca. 460 f.Kr.) demonstrerede, at de måneformede områder mellem cirkulære buer, kendt som lunes, kunne udtrykkes nøjagtigt som et retlinjært område eller kvadratur. I det følgende enkle tilfælde har to baner, der er udviklet omkring siderne af en højre trekant, et kombineret areal, der er lig med trekantens.
-
Start med højre ΔABC, tegne en cirkel, hvis diameter falder sammen med AB (side c), hypotenusen. Da enhver højre trekant, der er tegnet med en cirkeldiameter for dens hypotenuse, skal være indskrevet i cirklen, skal C være på cirklen.
-
Tegn halvcirkler med diametre AC (side b) og BC (side a) som på figuren.
-
Mærk den resulterende lunes L 1 og L 2, og de resulterende segmenter S 1 og S 2, som angivet i figuren.
-
Nu skal summen af melodierne (L 1 og L 2) svare til summen af halvcirklene (L 1 + S 1 og L 2 + S 2), der indeholder dem minus de to segmenter (S 1 og S 2). Således L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (da arealet af en cirkel er TT gange kvadratet på radius).
-
Summen af segmenterne (S 1 og S 2) er lig med halvcirkelens areal baseret på AB minus trekantens område. Således S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Substituere ekspressionen i trin 5 i trin 4 og factoring ud almindelige udtryk, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Siden ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, ved Pythagoras. Således L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippokrates formåede at kvadrere flere slags meloner, nogle på buer større og mindre end halvcirkler, og han intimerede, selvom han måske ikke havde troet, at hans metode kunne kvadratere en hel cirkel. I slutningen af den klassiske tidsalder nævnte Boethius (ca. ad 470–524), hvis latinske oversættelser af uddrag af Euclid ville holde lyset fra geometrien flimrende i et halvt årtusinde, og nævnte, at nogen havde udført cirkelens kvadrering. Hvorvidt det ukendte geni brugte mel eller en anden metode vides ikke, da Boethius på grund af mangel på plads ikke demonstrerede. Han overførte således udfordringen med cirkelens kvadratur sammen med fragmenter af geometri, der tilsyneladende var nyttige til at udføre den. Europæere holdt ved den uheldige opgave langt ind i oplysningstiden. Endelig, i 1775, nægtede Paris Academy of Sciences, der var trætte af opgaven med at opdage forfalskninger i de mange løsninger, der blev forelagt det, at have noget yderligere at gøre med cirkelkvadrater.
