Differentialligning, matematisk sætning, der indeholder et eller flere derivater - det vil sige termer, der repræsenterer ændringshastighederne for kontinuerligt varierende mængder. Differenzielle ligninger er meget almindelige inden for videnskab og teknik såvel som i mange andre områder af kvantitativ undersøgelse, fordi hvad der direkte kan observeres og måles for systemer, der gennemgår ændringer, er deres ændringshastigheder. Opløsningen af en differentiel ligning er generelt en ligning, der udtrykker den funktionelle afhængighed af en variabel af en eller flere andre; det indeholder normalt konstante udtryk, der ikke er til stede i den originale differentialligning. En anden måde at sige dette på er, at løsningen af en differentialligning producerer en funktion, der kan bruges til at forudsige opførslen af det originale system, i det mindste inden for visse begrænsninger.
analyse: Newton og differentialligninger
anvendelse af analyse er differentialligninger, der relaterer ændringshastighederne for forskellige mængder til deres aktuelle værdier,
Differentielle ligninger er klassificeret i flere brede kategorier, og disse er igen yderligere opdelt i mange underkategorier. De vigtigste kategorier er almindelige differentialligninger og partielle differentialligninger. Når funktionen, der er involveret i ligningen, kun afhænger af en enkelt variabel, er dens derivater almindelige derivater, og differentialligningen klassificeres som en almindelig differentialligning. På den anden side, hvis funktionen afhænger af flere uafhængige variabler, så dens derivater er partielle derivater, klassificeres differentialligningen som en partiel differentialligning. Følgende er eksempler på almindelige differentialligninger:
I disse står y for funktionen, og enten t eller x er den uafhængige variabel. Symbolerne k og m bruges her til at stå for specifikke konstanter.
Uanset hvilken type det måtte være, siges det, at en differentialligning er af den niende rækkefølge, hvis den involverer et derivat af den niende orden, men ingen derivat af en orden højere end dette. Ligningen er et eksempel på en delvis differentiel ligning af anden orden. Teorierne om almindelige og partielle differentialligninger er markant forskellige, og derfor behandles de to kategorier separat.
I stedet for en enkelt differentiel ligning kan studiets genstand være et samtidigt system af sådanne ligninger. Formuleringen af dynamiklove fører ofte til sådanne systemer. I mange tilfælde kan en enkelt differentialligning af den niende rækkefølge fordelagtigt udskiftes med et system af n samtidige ligninger, der hver er af den første orden, så teknikker fra lineær algebra kan anvendes.
En almindelig differentialligning, hvor for eksempel funktionen og den uafhængige variabel er betegnet med y og x, er i virkeligheden en implicit resumé af de væsentlige egenskaber ved y som funktion af x. Disse egenskaber ville formodentlig være mere tilgængelige for analyse, hvis der kunne produceres en eksplicit formel for y. En sådan formel, eller i det mindste en ligning i x og y (involverer ingen derivater), der kan fratrækkes fra differentialligningen, kaldes en løsning af differentialligningen. Processen med at trække en løsning fra ligningen ved anvendelse af algebra og calculus kaldes løsning eller integration af ligningen. Det skal dog bemærkes, at de differentialligninger, der eksplicit kan løses, udgør kun et lille mindretal. De fleste funktioner skal således studeres ved indirekte metoder. Selv dens eksistens skal bevises, når der ikke er nogen mulighed for at fremstille den til inspektion. I praksis anvendes metoder fra numerisk analyse, der involverer computere, for at opnå nyttige omtrentlige løsninger.
