Diophantus, ved navn Diophantus fra Alexandria, (blomstrede ca. 250 år), græsk matematiker, berømt for sit arbejde i algebra.
talteori: Diophantus
Af senere græske matematikere er Diophantus fra Alexandria særlig bemærkelsesværdigt (blomstrede ca. 250), forfatter
Hvad der kun er lidt om Diophantus 'liv, er omstændigt. Fra betegnelsen "Alexandria" ser det ud til, at han arbejdede i det vigtigste videnskabelige centrum i den antikke græske verden; og fordi han ikke er nævnt før det 4. århundrede, ser det ud til, at han blomstrede i løbet af det 3. århundrede. Et aritmetisk epigram fra Anthologia Graeca fra den sene oldtid, der påstås at trække nogle landemærker tilbage i hans liv (ægteskab ved 33 år, hans søns fødsel 38 år, hans søns død fire år før sin egen på 84), kan meget vel bestrides. To værker er kommet ned til os under hans navn, begge ufuldstændige. Den første er et lille fragment på polygonale tal (et tal er polygonalt, hvis det samme antal prikker kan arrangeres i form af en almindelig polygon). Den anden, en stor og yderst indflydelsesrig afhandling, som al den gamle og moderne berømmelse om Diophantus har udsat for, er hans Arithmetica. Dets historiske betydning er todelt: det er det første kendte arbejde, der anvender algebra i en moderne stil, og det inspirerede genfødelsen af taleteorien.
Arithmetica begynder med en introduktion adresseret til Dionysius - uden tvivl St. Dionysius fra Alexandria. Efter nogle generelle oplysninger om tal, forklarer Diophantus sin symbolik - han bruger symboler til det ukendte (svarende til vores x) og dets kræfter, positive eller negative, såvel som for nogle aritmetiske operationer - de fleste af disse symboler er tydeligt skriftlige forkortelser. Dette er den første og eneste forekomst af algebraisk symbolik før det 15. århundrede. Efter at have undervist multiplikation af de ukendte kræfter, forklarer Diophantus multiplikationen af positive og negative termer og derefter hvordan man reducerer en ligning til en med kun positive udtryk (den standardform, der foretrækkes i antikken). Med disse forberedelser ude af vejen fortsætter Diophantus til problemerne. I virkeligheden er Arithmetica hovedsageligt en samling af problemer med løsninger, ca. 260 i den del, der stadig findes.
I introduktionen hedder det også, at værket er opdelt i 13 bøger. Seks af disse bøger var kendt i Europa i slutningen af det 15. århundrede, sendt på græsk af byzantinske lærde og nummereret fra I til VI; fire andre bøger blev opdaget i 1968 i en arabisk oversættelse fra det 9. århundrede af Qusṭā ibn Lūqā. Den arabiske tekst mangler imidlertid matematisk symbolik, og den ser ud til at være baseret på en senere græsk kommentar - måske den fra Hypatia (ca. 370–415) - der fortyndede Diophantus 'udlæg. Vi ved nu, at nummereringen af de græske bøger skal ændres: Arithmetica består således af bøger I til III på græsk, bøger IV til VII på arabisk og formodentlig bøger VIII til X på græsk (de tidligere græske bøger IV til VI). Yderligere omnummerering er usandsynligt; det er temmelig sikkert, at byzantinerne kun kendte de seks bøger, de sendte, og araberne ikke mere end bøger I til VII i den kommenterede version.
Problemerne i bog I er ikke karakteristiske, idet de for det meste er enkle problemer, der bruges til at illustrere algebraisk beregning. De særlige træk ved Diophantus 'problemer vises i de senere bøger: de er ubestemmelige (har mere end en løsning), er af den anden grad eller kan reduceres til den anden grad (den højeste effekt på variable vilkår er 2, dvs. x 2), og afsluttes med bestemmelsen af en positiv rationel værdi for det ukendte, der vil gøre et givet algebraisk udtryk til et numerisk kvadrat eller sommetider en terning. (Gennem hele sin bog bruger Diophantus “tal” til at henvise til det, der nu kaldes positive, rationelle tal; således er et kvadratnummer kvadratet til et positivt, rationelt antal.) Bøger II og III lærer også generelle metoder. I tre problemer i bog II forklares det, hvordan man repræsenterer: (1) ethvert givet kvadratnummer som en sum af kvadraterne med to rationelle tal; (2) et hvilket som helst givet ikke-kvadratisk tal, som er summen af to kendte firkanter, som en sum af to andre firkanter; og (3) ethvert givet rationelt tal som forskellen mellem to firkanter. Mens de første og tredje problemer generelt anføres, antyder den antagede viden om en løsning i det andet problem, at ikke hvert rationelt tal er summen af to firkanter. Diophantus giver senere betingelsen for et heltal: det givne tal må ikke indeholde nogen primfaktor i formen 4n + 3 hævet til en ulige magt, hvor n er et ikke-negativt heltal. Sådanne eksempler motiverede genfødelsen af taleteori. Selvom Diophantus typisk er tilfreds med at få en løsning på et problem, nævner han lejlighedsvis i problemer, at der findes et uendeligt antal løsninger.
I bøger IV til VII udvider Diophantus basale metoder som dem, der er skitseret ovenfor, til problemer i højere grader, der kan reduceres til en binomiel ligning af første eller anden grad. Forordene til disse bøger angiver, at deres formål er at give læseren "erfaring og dygtighed." Selvom denne nylige opdagelse ikke øger viden om Diophantus 'matematik, ændrer den vurderingen af hans pædagogiske evne. Bøger VIII og IX (formodentlig græske bøger IV og V) løser vanskeligere problemer, selvom de grundlæggende metoder forbliver de samme. For eksempel involverer et problem dekomponering af et givet heltal i summen af to firkanter, der er vilkårligt tæt på hinanden. Et lignende problem involverer at nedbryde et givet heltal i summen af tre firkanter; i det udelukker Diophantus det umulige tilfælde af heltal i formen 8n + 7 (igen, n er et ikke-negativt heltal). Bog X (formodentlig græsk bog VI) omhandler retvinklede trekanter med rationelle sider og underlagt forskellige yderligere betingelser.
Indholdet af de tre manglende bøger om Arithmetica kan antages fra introduktionen, hvor Diophantus tilføjer, at han efter at have sagt at reduktionen af et problem "om muligt" afsluttes med en binomial ligning, at han "senere" behandler sagen af en trinomiel ligning - et løfte, der ikke er opfyldt i den eksisterende del.
Selvom han havde begrænsede algebraiske redskaber til sin rådighed, lykkedes det Diophantus at løse en lang række problemer, og Arithmetica inspirerede arabiske matematikere som al-Karajī (ca. 980-1030) til at anvende sine metoder. Den mest berømte udvidelse af Diophantus 'arbejde var af Pierre de Fermat (1601-65), grundlæggeren af moderne taleteori. I udkanten af sin kopi af Arithmetica skrev Fermat forskellige bemærkninger og foreslog nye løsninger, korrektioner og generaliseringer af Diophantus metoder samt nogle formodninger som Fermats sidste sætning, som besatte matematikere i kommende generationer. Ubestemmelige ligninger, der er begrænset til integrerede opløsninger, er blevet kendt, men ikke korrekt, som Diophantine-ligninger.
