Riemann zeta funktion matematik

Riemann zeta-funktion, funktion, der er nyttig i taleteori til at undersøge egenskaber ved primtal. Skrevet som ζ (x) blev den oprindeligt defineret som den uendelige serieζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. Når x = 1 kaldes denne serie for den harmoniske serie, der øges uden at blive bundet - dvs. summen er uendelig. For værdier på x, der er større end 1, konvergerer serien til et endeligt antal, når successive udtryk tilføjes. Hvis x er mindre end 1, er summen igen uendelig. Zeta-funktionen blev kendt af den schweiziske matematiker Leonhard Euler i 1737, men den blev først undersøgt omfattende af den tyske matematiker Bernhard Riemann.

I 1859 udgav Riemann et papir, der gav en eksplicit formel for antallet af primer op til en hvilken som helst forudbestemt grænse - en besluttet forbedring i forhold til den omtrentlige værdi, der er givet af primnummeret sætningen Riemanns formel var dog afhængig af at vide, hvilke værdier en generaliseret version af zeta-funktionen er lig med nul. (Riemann zeta-funktionen er defineret for alle komplekse tal - numre i formen x + iy, hvor i = kvadratrod af √ − 1 - bortset fra linjen x = 1.) Riemann vidste, at funktionen er lig med nul for alle negative heltal −2, −4, −6,

(såkaldte trivielle nuller), og at det har et uendeligt antal nuller i den kritiske strimmel af komplekse tal mellem linierne x = 0 og x = 1, og han vidste også, at alle ikke-nulmæssige nuller er symmetriske med hensyn til de kritiske linie x = ¹ / ₂. Riemann formodede, at alle ikke-nulstillede nuller er på den kritiske linje, en formodning, der senere blev kendt som Riemann-hypotesen.

I 1900 kaldte den tyske matematiker David Hilbert Riemann-hypotesen for et af de vigtigste spørgsmål i hele matematikken, hvilket er indikeret ved dens optagelse i hans indflydelsesrige liste over 23 uløste problemer, som han udfordrede matematikere fra det 20. århundrede. I 1915 beviste den engelske matematiker Godfrey Hardy, at der forekommer et uendeligt antal nuller på den kritiske linje, og i 1986 blev de første 1.500.000.001 ikke-private nuller vist på den kritiske linje. Selvom hypotesen endnu kan vise sig at være falsk, har undersøgelser af dette vanskelige problematik beriget forståelsen af ​​komplekse tal.