Logik og metalogik
På én måde skal logik identificeres med predikatberegningen for den første rækkefølge, den beregning, i hvilken variablerne er begrænset til individer med et fast domæne - skønt det også kan omfatte identitetens logik, symboliseret "=", som tager de almindelige egenskaber ved identitet som en del af logikken. I denne forstand opnåede Gottlob Frege en formel beregning af logik allerede i 1879. Undertiden opfattes logik dog som også at omfatte højere-orden predikatberegninger, som indrømmer variabler af højere typer, såsom dem, der spænder over predikater (eller klasser og relationer) og så videre. Men så er det et lille skridt til inkludering af sætteori, og faktisk betragtes aksiomatisk sætteori ofte som en del af logikken. I forbindelse med denne artikel er det imidlertid mere hensigtsmæssigt at begrænse diskussionen til logik i første forstand.
Det er vanskeligt at adskille væsentlige fund i logik fra dem i metalogik, fordi alle teoremer af interesse for logikere handler om logik og derfor hører til metalogik. Hvis p er et matematisk teorem - især en om logik - og P er sammenhængen mellem de matematiske aksiomer, der anvendes til at bevise p, kan hver p omdannes til et teorem, "enten ikke-P eller p," i logik. Matematik udføres imidlertid ikke ved eksplicit at udføre alle trin, som er formaliseret i logik; valg og intuitiv forståelse af aksiomerne er vigtige både for matematik og for metamatematik. Faktiske afledninger i logik, såsom dem, der blev udført lige før første verdenskrig af Alfred North Whitehead og Bertrand Russell, er af ringe interesse for logikere. Det kan derfor synes overflødigt at introducere udtrykket metalogic. I den nuværende klassifikation opfattes metalogik imidlertid ikke kun med fund om logiske beregninger, men også med studier af formelle systemer og formelle sprog generelt.
Et almindeligt formelt system adskiller sig fra en logisk beregning, idet systemet normalt har en tilsigtet fortolkning, medens den logiske beregning bevidst giver de mulige fortolkninger åbne. Man taler således for eksempel om sandheden eller forfalskningen af sætninger i et formelt system, men med hensyn til en logisk beregning taler man om gyldighed (dvs. at være sand i alle fortolkninger eller i alle mulige verdener) og om tilfredshed (eller at have en model - dvs. være sandt i en bestemt fortolkning). Følgelig har fuldstændigheden af en logisk beregning en helt anden betydning end den i et formelt system: en logisk beregning tillader mange sætninger, således at hverken sætningen eller dens negation er et sætning, fordi det er sandt i nogle fortolkninger og falsk i andre, og det kræver kun, at enhver gyldig sætning er et sætning.
