Logaritmematik

Logaritme, eksponenten eller magten, som en base skal hæves for at give et givet antal. Udtrykt matematisk er x logaritmen for n til basen b, hvis b ^x = n, i hvilket tilfælde man skriver x = log _b n. For eksempel 2 ³ = 8; derfor er 3 logaritmen fra 8 til base 2, eller 3 = log ₂ 8. På samme måde siden 10 ² = 100, så er 2 = log ₁₀ 100. Logaritmer af sidstnævnte sort (det vil sige logaritmer med base 10) kaldes almindelige eller Briggsianske logaritmer og skrives blot log n.

I opfindelsen i det 17. århundrede for at fremskynde beregningerne reducerede logaritmer den tid, der kræves for at multiplicere tal med mange cifre. De var grundlæggende i numerisk arbejde i mere end 300 år, indtil perfektion af mekaniske beregningsmaskiner i slutningen af ​​det 19. århundrede og computere i det 20. århundrede gjorde dem forældede til store beregninger. Den naturlige logaritme (med base e ≅ 2.71828 og skrevet ln n) er dog fortsat en af ​​de mest nyttige funktioner i matematik, med anvendelser til matematiske modeller i fysiske og biologiske videnskaber.

Egenskaber ved logaritmer

Logaritmer blev hurtigt vedtaget af forskere på grund af forskellige nyttige egenskaber, der forenklede lange, kedelige beregninger. Især kunne forskere finde produktet af to tal m og n ved at slå op på hvert tals logaritme i en speciel tabel, tilføje logaritmerne sammen og derefter konsultere tabellen igen for at finde antallet med den beregnede logaritme (kendt som dens antilogaritme). Udtrykt i form af almindelige logaritmer, er dette forhold givet ved log mn = log m + log n. For eksempel kan 100 × 1.000 beregnes ved at slå op logaritmerne på 100 (2) og 1.000 (3), tilføje logaritmerne sammen (5) og derefter finde dens antilogaritme (100.000) i tabellen. Tilsvarende konverteres opdelingsproblemer til subtraktionsproblemer med logaritmer: log m / n = log m - log n. Dette er ikke alt; beregningen af ​​kræfter og rødder kan forenkles ved hjælp af logaritmer. Logaritmer kan også konverteres mellem alle positive baser (bortset fra at 1 ikke kan bruges som base, da alle dens kræfter er lig med 1), som vist i

tabel over logaritmiske love.

Kun logaritmer for tal mellem 0 og 10 blev typisk inkluderet i logaritmetabeller. For at få logaritmen til et vist antal uden for dette interval blev tallet først skrevet i videnskabelig notation, da produktet af dets betydelige cifre og dets eksponentielle magt - for eksempel ville 358 blive skrevet som 3,58 × 10 ², og 0,0046 ville blive skrevet som 4,6 × 10 ⁻³. Derefter logaritmen for de markante cifre - en decimalfraktion mellem 0 og 1, kendt som mantissen - findes i en tabel. For eksempel at finde logaritmen til 358, ville man slå op log 3.58 ≅ 0.55388. Derfor log 358 = log 3.58 + log 100 = 0.55388 + 2 = 2.55388. I eksemplet med et tal med en negativ eksponent, såsom 0,0046, ville man slå op log 4.6 ≅ 0.66276. Derfor log 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276 - 3 = −2.33724.