Grundlaget for matematik

Kategoriteori

Abstraktion i matematik

En nylig tendens i udviklingen af ​​matematik har været den gradvise abstraktionsproces. Den norske matematiker Niels Henrik Abel (1802–29) beviste, at ligninger af femte grad generelt ikke kan løses af radikaler. Den franske matematiker Évariste Galois (1811–32), delvis motiveret af Abels arbejde, introducerede visse grupper af permutationer for at bestemme de nødvendige betingelser for, at en polynomligning kunne løses. Disse konkrete grupper gav snart anledning til abstrakte grupper, der blev beskrevet aksiomatisk. Derefter blev det klar over, at det for at studere grupper var nødvendigt at se på forholdet mellem forskellige grupper - især på homomorfismerne, der kortlægger en gruppe i en anden, mens gruppen bevares. Således begyndte folk at studere, hvad der nu kaldes den konkrete kategori af grupper, hvis genstande er grupper, og hvis pile er homomorfismer. Det tog ikke lang tid, før konkrete kategorier blev erstattet af abstrakte kategorier, der igen blev beskrevet aksiomatisk.

Den vigtige opfattelse af en kategori blev introduceret af Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane i slutningen af ​​2. verdenskrig. Disse moderne kategorier skal adskilles fra Aristoteles kategorier, der bedre kaldes typer i den nuværende kontekst. En kategori har ikke kun objekter, men også pile (også omtalt som morfismer, transformationer eller kortlægninger) mellem dem.

Mange kategorier har som objekter sæt udstyret med nogle struktur og pile, som bevarer denne struktur. Der findes således kategorierne sæt (med tom struktur) og kortlægninger, af grupper og gruppe-homomorfismer, af ringe og ring-homomorfismer, af vektorrum og lineære transformationer, af topologiske rum og kontinuerlige kortlægninger, og så videre. Der findes endda på et endnu mere abstrakt niveau kategorien af ​​(små) kategorier og funktorer, som morfismerne mellem kategorier kaldes, som bevarer forholdet mellem objekter og pile.

Ikke alle kategorier kan ses på denne konkrete måde. F.eks. Kan formlerne for et deduktiv system ses som objekter i en kategori, hvis pile f: A → B er fradrag for B fra A. Faktisk er dette synspunkt vigtigt i teoretisk datalogi, hvor formler tænkes på som typer og fradrag som operationer.

Mere formelt består en kategori af (1) en samling af objekter A, B, C,…, (2) for hvert ordnet par af objekter i samlingen en tilknyttet samling af transformationer inklusive identiteten I _A ∶ A → A, og (3) en tilknyttet lov om sammensætning for hver ordnet tredobbelt objekter i kategorien, således at f ∶ A → B og g ∶ B → C er sammensætningen gf (eller g ○ f) en transformation fra A til C — dvs. gf ∶ A → C. Derudover er den associative lov og identiteterne påkrævet at have (hvor sammensætningerne er defineret) ie, h (gf) = (hg) f og 1 _B f = f = f1 _A.

På en måde har objekterne i en abstrakt kategori ingen vinduer som Leibniz monader. For at udlede det indre af et objekt A behøver man kun at se alle pilene fra andre objekter til A. For eksempel i kategorien sæt kan elementer i et sæt A være repræsenteret med pile fra et typisk et-element-sæt i A. Tilsvarende i kategorien af små kategorier, hvis 1 er kategorien med et objekt og ingen nonidentity pile, de genstande af en kategori a kan identificeres med functors 1 → a. Desuden, hvis 2 er den kategori med to objekter og en nonidentity pil Pile A kan identificeres med functors 2 → A.

Isomorfe strukturer

En pil f: A → B kaldes en isomorfi, hvis der er en pil g: B → A invers til f-der er sådan, at g ○ f = 1 _A og f ○ g = 1 _B. Dette er skrevet A ≅ B, og A og B kaldes isomorf, hvilket betyder, at de stort set har den samme struktur, og at der ikke er behov for at skelne mellem dem. I det omfang matematiske enheder er objekter i kategorier, gives de kun op til isomorfisme. Deres traditionelle sætteoretiske konstruktioner, bortset fra at tjene et nyttigt formål med at vise konsistens, er virkelig irrelevante.

For eksempel defineres et heltal i den sædvanlige konstruktion af ringen med heltal som en ækvivalensklasse af par (m, n) af naturlige tal, hvor (m, n) er ækvivalent med (m ′, n ′), hvis og kun hvis m + n ′ = m ′ + n. Tanken er, at ækvivalensklassen for (m, n) skal ses som m - n. Det, der dog er vigtigt for en kategorist, er, at ringen ℤ for heltal er et oprindeligt objekt i kategorien af ​​ringe og homomorfismer - det vil sige, at for hver ring ℝ er der en unik homomorfisme ℤ → ℝ. Set på denne måde gives only kun op til isomorfisme. I samme ånd skal det ikke siges, at ℤ er indeholdt i feltet ℚ med rationelle tal, men kun at homomorfismen ℤ → ℚ er en-til-en. Ligeledes giver det ingen mening at tale om det sætteoretiske skæringspunkt mellem π og kvadratrod af √-1, hvis begge udtrykkes som sæt sæt sæt (ad infinitum).

Af særlig interesse i fonde og andre steder er tilstødende funktorer (F, G). Dette er par funktorer mellem to kategorier ? og ℬ, der går i modsatte retninger, således at der findes en en-til-en-korrespondance mellem pilssættet F (A) → B i ℬ og pilssættet A → G (B) i ? - det vil sige, at sætene er isomorfe.