Formel logik

Semantiske tabluer

Siden 1980'erne har en anden teknik til at bestemme gyldigheden af ​​argumenter i enten PC eller LPC opnået en vis popularitet, både på grund af dets lethed med at lære og den direkte implementering af computerprogrammer. Oprindeligt foreslået af den hollandske logiker Evert W. Beth, blev den mere fuldt udviklet og offentliggjort af den amerikanske matematiker og logiker Raymond M. Smullyan. Når man bygger på, at det er umuligt for et gyldigt argument at være sandt, når konklusionen er forkert, forsøger denne metode at fortolke (eller evaluere) lokalerne på en sådan måde, at de alle samtidig er tilfredse og negationen af konklusionen er også tilfreds. Succes i en sådan anstrengelse viser, at argumentet er ugyldigt, mens manglende finde en sådan fortolkning viser, at det var gyldigt.

Konstruktionen af ​​et semantisk tablå forløber som følger: udtryk forudsætningerne og negationen for afslutningen af ​​et argument i pc ved kun at bruge negation (∼) og disjunction (∨) som propositionskonnektiver. Fjern enhver forekomst af to negationstegn i en sekvens (f.eks. ∼∼∼∼∼a bliver ∼a). Konstruer nu et trædiagram, der forgrener sig nedad, således at hver sammenhæng erstattes af to grene, en til venstre disjunct og en til højre. Den oprindelige sammenhæng er sand, hvis begge grene er rigtige. Henvisning til De Morgan's love viser, at en negation af en adskillelse er sand, bare i tilfælde af at negationerne af begge disjunkter er sande [dvs. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Denne semantiske observation fører til reglen om, at negation af en disjunktion bliver en gren, der indeholder negationen af ​​hver disjunct:

Overvej følgende argument:

Skrive:

Slå nu disjunktionen ud og dann to grene:

Kun hvis alle sætninger i mindst en gren er rigtige, er det muligt for de originale premisser at være rigtige og konklusionen falsk (tilsvarende for konklusionen om negation). Ved at spore linjen opad i hver gren til toppen af ​​træet, observerer man, at ingen værdiansættelse af a i venstre gren vil resultere i, at alle sætninger i den gren modtager den sande værdi (på grund af tilstedeværelsen af ​​a og ∼a). På samme måde gør nærværelsen af ​​b og inb i den rigtige gren det umuligt for en værdiansættelse at resultere i, at alle dommerne i filialen får værdien ægte. Disse er alle mulige grene; det er således umuligt at finde en situation, hvor lokalerne er sande og konklusionen falsk. Det originale argument er derfor gyldigt.

Denne teknik kan udvides til at håndtere andre forbindelser:

I LPC skal der endvidere indføres regler for instantisering af kvantificerede wffs. Det er klart, at enhver gren, der indeholder både (∀x) ϕx og ∼ϕy, er en, hvor ikke alle sætninger i den gren samtidig kan tilfredsstilles (under antagelse af ω-konsistens; se metalogic). Igen, hvis alle grene ikke er tilfredsstillende samtidig, er det originale argument gyldigt.

Specielle systemer i LPC

LPC som beskrevet ovenfor kan modificeres ved enten at begrænse eller udvide området for wffs på forskellige måder:

• 1. Kampsystemer i LPC. Nogle af de mere vigtige systemer produceret ved begrænsning er her skitseret:

  • a.Det kan være påkrævet, at hver predikatvariabel er monadisk, mens den stadig tillader et uendeligt antal individuelle og predikatvariabler. Atomwffs er derefter simpelthen dem, der består af en predikatvariabel efterfulgt af en enkelt individuel variabel. Ellers forbliver formationsreglerne som før, og definitionen af ​​gyldighed er også som før, men forenklet på indlysende måder. Dette system er kendt som den monadiske LPC; det giver en logik over egenskaber, men ikke for relationer. Et vigtigt kendetegn ved dette system er, at det kan bestemmes. (Indførelsen af ​​endda en enkelt dyadisk predikatvariabel ville imidlertid gøre systemet uanvendeligt, og faktisk er det endda vist, at systemet, der kun indeholder en enkelt dyadisk predikatvariabel og ingen andre predikatvariabler overhovedet er ubestrideligt.)

  • bA stadig enklere system kan dannes ved at kræve (1), at hver predikatvariabel er monadisk, (2) at kun en enkelt individuel variabel (f.eks. x) anvendes, (3) at enhver forekomst af denne variabel bindes, og (4) at der ikke forekommer nogen kvantificator inden for omfanget af nogen anden. Eksempler på wffs til dette system er (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“Hvad der end er ϕ er både ψ og χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“Der er noget, der er ϕ men ikke ψ”); og (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“Hvis hvad hvad der er ϕ er ψ, så er noget både ϕ og ψ”). Notationen til dette system kan forenkles ved at udelade x overalt og skrive ∃ϕ for “Noget er ϕ,” ∀ (ϕ ⊃ ψ) for “Hvad der end er ϕ er ψ,” og så videre. Selvom dette system er mere rudimentært end det monadiske LPC (hvoraf det er et fragment), kan formerne for en bred vifte af inferenser repræsenteres i det. Det er også et beslutningsbart system, og der kan gives en beslutningsprocedure af en elementær art for det.

• 2. Udvidelser af LPC. Mere detaljerede systemer, hvor en bredere række af forslag kan udtrykkes, er blevet konstrueret ved at tilføje nye symboler af forskellige typer til LPC. Den mest ligetil af sådanne tilføjelser er:

  • a. En eller flere individuelle konstanter (sige, a, b,

    ): disse konstanter fortolkes som navne på specifikke individer; formelt adskilles de fra individuelle variabler ved, at de ikke kan forekomme inden for kvantificatorer; f.eks. (∀x) er et kvantificeringsmiddel, men (∀a) er det ikke.

  • b.En eller flere predikatkonstanter (sig, A, B,

    ), hver af en bestemt specificeret grad, tænkt som betegnende specifikke egenskaber eller relationer.

En yderligere mulig tilføjelse, der kræver en noget fyldigere forklaring, består af symboler designet til at stå for funktioner. Begrebet en funktion kan forklares tilstrækkeligt til de nuværende formål som følger. Der siges at være en bestemt funktion af n argumenter (eller, grad n), når der er en regel, der specificerer et unikt objekt (kaldet funktionens værdi), når alle argumenter er angivet. Inden for menneskers domæne er for eksempel “mor til -” en monadisk funktion (en funktion af et argument), da der for hvert menneske findes et unikt individ, der er hans mor; og inden for det naturlige tal (dvs. 0, 1, 2,

), “Summen af ​​- og -” er en funktion af to argumenter, da der for et par naturlige par er der et naturligt tal, der er deres sum. Et funktionssymbol kan betragtes som at danne et navn ud af andre navne (dets argumenter); Når x- og y-navnene kaldes, betyder "summen af ​​x og y" også et nummer, og på lignende måde for andre slags funktioner og argumenter.

For at muliggøre, at funktioner udtrykkes i LPC, kan der tilføjes:

• c.En eller flere funktionsvariabler (f.eks. f, g,

  ) eller en eller flere funktionskonstanter (f.eks. F, G,

  ) eller begge dele, hver af en bestemt grad. Førstnævnte fortolkes som spændende over funktioner i de specificerede grader og sidstnævnte som betegnende specifikke funktioner for denne grad.

Når en eller alle a – c tilføjes til LPC, skal formationsreglerne, der er anført i første afsnit i afsnittet om den nedre predikatberegning (se ovenfor Den nedre predikatberegning) skal ændres for at gøre det muligt at integrere de nye symboler i wffs. Dette kan gøres som følger: Et udtryk defineres først som enten (1) en individuel variabel eller (2) en individuel konstant eller (3) ethvert udtryk dannet ved at præfikse en funktionsvariabel eller funktionskonstant for grad n til ethvert n-udtryk (disse udtryk - funktionssymbolets argumenter - adskilles normalt af kommaer og er indesluttet i parenteser). Formationsregel 1 erstattes derefter af:

• 1′. Et udtryk bestående af en predikatvariabel eller predikatkonstant i grad n efterfulgt af n udtryk er en wff.

Det aksiomatiske grundlag, der er givet i afsnittet om aksiomatisering af LPC (se ovenfor Axiomatisering af LPC) kræver også følgende modifikation: i aksiomskema 2 tillades ethvert udtryk at erstatte a når β dannes, forudsat at der ikke er nogen variabel, der er fri i udtrykket bliver bundet i β. De følgende eksempler illustrerer brugen af ​​de førnævnte tilføjelser til LPC: lad værdien af ​​de individuelle variabler være de naturlige tal; lad de enkelte konstanter a og b stå for henholdsvis numrene 2 og 3; lad en middelværdi “er prime”; og lad F repræsentere den dyadiske funktion "summen af." Derefter udtrykker AF (a, b) forslaget "Summen af ​​2 og 3 er prim," og (∃x) AF (x, a) udtrykker forslaget "Der findes et tal, så summen af ​​det og 2 er prim.”

Indførelsen af ​​konstanter ledsages normalt af tilføjelsen til det aksiomatiske grundlag af specielle aksiomer, der indeholder disse konstanter, designet til at udtrykke principper, der holder objekter, egenskaber, relationer eller funktioner repræsenteret af dem - selvom de ikke har objekter, egenskaber, relationer eller funktioner generelt. Det kan f.eks. Besluttes at bruge den konstante A til at repræsentere den dyadiske relation “er større end” (så Axy skal betyde “x er større end y” og så videre). Denne relation er i modsætning til mange andre transitive; dvs. hvis et objekt er større end et sekund, og det andet er til gengæld større end en tredjedel, er det første større end det tredje. Følgelig kan følgende specielle aksiomskema tilføjes: hvis t ₁, t ₂ og t ₃ er nogen udtryk, er (Ved ₁ t ₂ · Ved ₂ t ₃) ⊃ Ved ₁ t ₃ er et aksiom. På sådanne midler kan systemer konstrueres til at udtrykke de logiske strukturer i forskellige bestemte discipliner. Det område, hvor det mest arbejde af denne art er blevet udført, er det med aritmetisk naturnummer.

PC og LPC kombineres undertiden i et enkelt system. Dette kan gøres mest simpelt ved at tilføje propositionsvariabler til listen over LPC-primitiver, tilføje en formationsregel til effekten, at en propositionsvariabel, der står alene er en wff, og slette "LPC" i aksiomskema 1. Dette giver som wffs sådanne udtryk som (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx og (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-med-identitet. Ordet “er” bruges ikke altid på samme måde. I et forslag som (1) “Socrates er snubbenet”, udtrykker udtrykket forud for “er” et individ, og udtrykket derpå står for en egenskab, der tilskrives den pågældende person. Men i et forslag som (2) "Sokrates er den athenske filosof, der drak hemlock," udtrykker begge udtryk og følger "er" individer, og følelsen af ​​hele forslaget er, at den person, der er navngivet af den første, er den samme person som den person, der er navngivet af den anden. Således kan i 2 "er" udvides til "er det samme individ som", mens det i 1 ikke kan. Som brugt i 2 står “er” for en dyadisk relation - nemlig identitet - som forslaget hævder at have mellem de to individer. Et identitetsforslag skal forstås i denne sammenhæng som påståelse ikke mere end dette; især skal det ikke anses for at hævde, at de to navnudtryk har den samme betydning. Et meget omtalt eksempel for at illustrere dette sidste punkt er "Morgenstjernen er aftenstjernen." Det er falske, at udtrykket "morgenstjernen" og "aftenstjernen" betyder det samme, men det er rigtigt, at det objekt, som den førstnævnte henviser til, er det samme som det, der er omtalt af sidstnævnte (planeten Venus).

For at gøre det muligt at udtrykke formerne for identitetsforslag, tilføjes en dyadisk predikatskonstant til LPC, for hvilken den mest almindelige notation er = (skrevet mellem, snarere end før, dens argumenter). Den tilsigtede fortolkning af x = y er, at x er det samme individ som y, og den mest behagelige læsning er "x er identisk med y." Dens negation ∼ (x = y) er ofte forkortet til x ≠ y. Til definitionen af ​​en LPC-model, der er givet tidligere (se ovenfor gyldighed i LPC) tilføjes nu reglen (som på en åbenlys måde stemmer overens med den tilsigtede fortolkning), at værdien af ​​x = y skal være 1, hvis det samme medlem af D er tildelt både x og y, og at dens værdi ellers er 0; gyldighed kan derefter defineres som før. Følgende tilføjelser (eller nogle ækvivalente) er foretaget til det aksiomatiske grundlag for LPC: aksiomen x = x og aksiomskemaet, hvor a og b er individuelle variabler, og α og β er wffs, der kun adskiller sig derfra, ved et eller flere steder, hvor a har en fri forekomst af a, ß har en fri forekomst af b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) er en aksiom. Et sådant system er kendt som en lavere-predikat-beregning-med-identitet; det kan naturligvis yderligere forbedres på de andre måder, der er nævnt ovenfor i "Udvidelser af LPC," i hvilket tilfælde ethvert udtryk kan være et argument af =.

Identitet er en ækvivalensrelation; dvs. det er refleksivt, symmetrisk og transitivt. Dets refleksivitet udtrykkes direkte i aksiomen x = x, og sætninger, der udtrykker dens symmetri og transitivitet, kan let udledes fra det givne grundlag.

Visse wffs af LPC-med-identitet udtrykker forslag om antallet af ting, der besidder en given egenskab. “Mindst en ting er ϕ” kunne naturligvis allerede udtrykkes med (∃x) ϕx; “Mindst to adskilte (ikke-identiske) ting er ϕ” kan nu udtrykkes med (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); og sekvensen kan fortsættes på en åbenlys måde. ”Højst en ting er ϕ” (dvs. “Ingen to forskellige ting er begge ϕ”) kan udtrykkes ved at negere den sidstnævnte wff eller ved dens ækvivalent, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], og sekvensen kan igen let fortsættes. En formel til "Præcis en ting er ϕ" kan fås ved at sammensætte formlerne for "Mindst en ting er ϕ" og "højst en ting er ϕ," men en enklere wff svarende til denne konjunktion er (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], hvilket betyder "Der er noget, der er ϕ, og alt hvad der er ϕ er den ting." Forslaget "Præcis to ting er ϕ" kan repræsenteres af (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; dvs. "Der er to ikke-identiske ting, der hver især er ϕ, og alt, hvad der er, er det ene eller det andet af disse." Det er klart, at denne sekvens også kan udvides til at give en formel for “Præcis n ting er ϕ” for hvert naturligt tal n. Det er praktisk at forkorte wff'en til “Præcis en ting er ϕ” til (∃! X) ϕx. Denne specielle kvantificator læses ofte højt som "E-Shriek x."

Definitive beskrivelser

Når en bestemt egenskab ϕ hører til et og kun et objekt, er det praktisk at have et udtryk, der navngiver dette objekt. En almindelig note til dette formål er (ιx) ϕx, der kan læses som "det, der er ϕ" eller mere kort som "det". Generelt, hvor a er en hvilken som helst individuel variabel og α er en hvilken som helst wff, (ιa) α står derefter for den enkelte værdi af a, der gør α sandt. Et udtryk for formen ”det så-og-så” kaldes en klar beskrivelse; og (ιx), kendt som en beskrivelsesoperatør, kan tænkes at danne et navn på et individ ud fra en formular. (ιx) er analog med en kvantificator, idet den, når den er præfixeret til en wff α, binder enhver fri forekomst af x i α. Relettering af bundne variabler er også tilladt; i det enkleste tilfælde (ιx) ϕx og (ιy) ϕy kan hver enkelt læses som "the ϕ."

Hvad formationsregler angår, kan konkrete beskrivelser inkorporeres i LPC ved at lade udtryk af formen (ιa) α tælle som udtryk; regel 1 ′ ovenfor i "Udvidelser af LPC" tillader dem derefter at forekomme i atomformler (inklusive identitetsformler). "Φ er (dvs. har egenskaben) ψ" kan derefter udtrykkes som ψ (ιx) ϕx; “Y er (det samme individ som) ϕ” som y = (ιx) ϕx; “Φ er (det samme individ som) ψ” som (ιx) ϕx = (ιy) ψy; og så videre.

Den korrekte analyse af forslag, der indeholder klare beskrivelser, har været genstand for betydelig filosofisk kontrovers. En almindeligt accepteret beretning - i det væsentlige den, der er præsenteret i Principia Mathematica og kendt som Russells teori om beskrivelser - hævder, at "ϕ er ψ" skal forstås som at det betyder, at nøjagtigt en ting er ϕ, og den ting er også ψ. I dette tilfælde kan det udtrykkes med en wff af LPC-med-identitet, der ikke indeholder nogen beskrivelsesoperatører - nemlig (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogt, "y er ϕ" analyseres som "y er ϕ, og intet andet er ϕ" og dermed som udtrykkeligt med (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "Φ er ψ" analyseres som "Præcis en ting er ϕ, nøjagtigt en ting er ψ, og hvad der ϕ er ϕ er and" og dermed udtrykkeligt med (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx og (ιx) ϕx = (ιy) ψy kan derefter betragtes som forkortelser for henholdsvis (1), (2) og (3); og ved at generalisere til mere komplekse sager kan alle wffs, der indeholder beskrivelsesoperatører, betragtes som forkortelser for længere wffs, der ikke gør det.

Analysen, der fører til (1) som formel for “The ϕ er ψ” fører til følgende for “The ϕ is not ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Det er vigtigt at bemærke, at (4) ikke er negationen af ​​(1); denne negation er i stedet (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Forskellen i betydning mellem (4) og (5) ligger i det faktum, at (4) kun er sandt, når der er nøjagtigt en ting, der er ϕ, og den ting ikke er ψ, men (5) er sandt både i dette tilfælde og også når intet er ϕ overhovedet, og når mere end én ting er ϕ. Forsømmelse af sondringen mellem (4) og (5) kan resultere i alvorlig tankegang; i almindelig tale er det ofte uklart, om nogen, der benægter, at ϕ er ψ, indrømmer, at nøjagtigt en ting er ϕ men benægter at det er ψ, eller benægter, at nøjagtigt en ting er ϕ.

Den grundlæggende påstand i Russells teori om beskrivelser er, at et forslag, der indeholder en bestemt beskrivelse, ikke skal betragtes som en påstand om et objekt, som beskrivelsen er et navn, men snarere som en eksistentielt kvantificeret påstand om, at en bestemt (temmelig kompleks) egenskab har et eksempel. Formelt afspejles dette i reglerne for eliminering af beskrivelsesoperatører, der blev beskrevet ovenfor.