Kontinuumhypotese matematik

Kontinuumhypotese, erklæring om sætteori om, at sættet med reelle tal (kontinuummet) er i en forstand så lille som det kan være. I 1873 beviste den tyske matematiker Georg Cantor, at kontinuummet er utallelig - det vil sige, at de reelle tal er en større uendelighed end tælletallene - et vigtigt resultat i at starte sætteorien som et matematisk emne. Desuden udviklede Cantor en måde at klassificere størrelsen på uendelige sæt i henhold til antallet af dets elementer eller dets kardinalitet. (Se sætteori: Kardinalitet og transfinite tal.) I disse udtryk kan kontinuumhypotesen anføres som følger: Kardinaliteten i kontinuumet er det mindste utallige kardinalnummer.

sætteori: Kardinalitet og transfinite tal

en formodning kendt som kontinuumhypotesen.

I Cantors notation kan kontinuumhypotesen angives ved den enkle ligning 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, hvor ℵ ₀ er kardinalnummeret i et uendeligt tællbart sæt (såsom sæt af naturlige tal), og kardinalnumrene med større " velordnede sæt ”er ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _a,

, indekseret med ordinære tal. Kardinaliteten i kontinuumet kan vises til lig med 2 ^{ℵ ₀}; kontinuumhypotesen udelukker således eksistensen af ​​et sæt størrelse mellem det naturlige antal og kontinuummet.

En stærkere erklæring er den generaliserede kontinuumhypotese (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} for hvert ordinalnummer α. Den polske matematiker Wacław Sierpiński beviste, at man med GCH kan udlede det valgte aksiom.

Som med det valgte aksiom beviste den østrigsk-fødte amerikanske matematiker Kurt Gödel i 1939, at hvis de andre standard Zermelo-Fraenkel-aksiomer (ZF; se

tabel) er konsistente, så afviser de ikke kontinuumhypotesen eller endda GCH. Det vil sige, at resultatet af tilføjelse af GCH til de andre aksiomer forbliver konsistent. Derefter afsluttede den amerikanske matematiker Paul Cohen i 1963 billedet ved at vise, igen under antagelsen af, at ZF er konsistent, at ZF ikke giver et bevis på kontinuumhypotesen.

Da ZF hverken beviser eller modbeviser kontinuumhypotesen, forbliver der spørgsmålet om, hvorvidt man skal acceptere kontinuumhypotesen baseret på et uformelt begreb om, hvad sæt er. Det generelle svar i det matematiske samfund har været negativt: kontinuumhypotesen er en begrænsende udsagn i en sammenhæng, hvor der ikke er nogen kendt grund til at indføre en grænse. I sætteori tildeler power-set-operationen hvert sæt kardinalitet ℵ _α sit sæt af alle undersæt, der har kardinalitet 2 ^{ℵ _α}. Der synes ikke at være nogen grund til at indføre en grænse for de forskellige undergrupper, som et uendeligt sæt kan have.