Kurt Gödel, Gödel stavede også Goedel, (født 28. april 1906, Brünn, Østrig-Ungarn [nu Brno, Tjekkisk Rep.] - dødJan. 14, 1978, Princeton, NJ, USA), østrigsk-født matematiker, logiker og filosof, der opnåede det, der måske er det vigtigste matematiske resultat af det 20. århundrede: hans berømte ufuldstændighedsteorem, der siger, at der inden for ethvert aksiomatisk matematisk system er forslag, der ikke kan bevises eller modbevises på grundlag af aksiomerne i dette system; således kan et sådant system ikke være samtidig komplet og konsistent. Dette bevis etablerede Gödel som en af de største logikere siden Aristoteles, og dens konsekvenser fortsat mærkes og diskuteres i dag.
fundamenter af matematik: Gödel
Implicit i Hilberts program havde været håb om, at den syntaktiske opfattelse af provabilitet ville fange den semantiske opfattelse af sandhed. Gödel
Tidligt liv og karriere
Gödel led gennem flere perioder med dårligt helbred som barn efter en anfald i 6-årsalderen med gigtfeber, hvilket efterlod ham bange for at have et resterende hjerteproblem. Hans livslange bekymring over hans helbred kan have bidraget til hans eventuelle paranoia, som omfattede obsessivt rengøring af hans redskaber og bekymrede sig over ren mad i hans mad.
Som tysktalende østrigsk befandt Gödel sig pludselig i det nyoprettede land Tjekkoslowakien, da det østrig-ungarske imperium blev brudt op ved slutningen af første verdenskrig i 1918. Dog seks år senere gik han for at studere i Østrig, ved Universitetet i Wien, hvor han fik sin doktorgrad i matematik i 1929. Han sluttede sig til fakultetet på Wien Universitet det næste år.
I denne periode var Wien et af verdens intellektuelle knudepunkter. Det var hjemsted for den berømte Wienerkreds, en gruppe forskere, matematikere og filosofer, der støttede det naturalistiske, stærkt empiriske og antimetafysiske syn, kendt som logisk positivisme. Gödels afhandlingsrådgiver, Hans Hahn, var en af lederne af Wien-cirklen, og han introducerede sin stjernestudent for gruppen. Gödels egne filosofiske synspunkter kunne imidlertid ikke have været mere forskellige fra positivisternes synspunkter. Han abonnerede på Platonisme, teisme og mind-body dualism. Derudover var han også noget mentalt ustabil og underlagt paranoia - et problem, der blev værre, da han blev ældre. Hans kontakt med medlemmerne af Wien-cirkel efterlod ham følelsen af, at det 20. århundrede var fjendtligt over for hans ideer.
Gödels sætninger
I sin doktorafhandling, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("Om fuldstændigheden af beregningen af logik"), der blev offentliggjort i en lidt forkortet form i 1930, beviste Gödel et af århundredets vigtigste logiske resultater - faktisk af hele tiden - nemlig fuldstændighedsteoremet, der fastslog, at klassisk førsteordens logik eller predikatberegning er komplet i den forstand, at alle de første ords logiske sandheder kan bevises i standard førsteordens bevissystemer.
Dette var imidlertid intet sammenlignet med, hvad Gödel offentliggjorde i 1931 - nemlig ufuldstændighedsteoremet: “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (“Om formelt ubestemelige forslag fra Principia Mathematica og beslægtede systemer”). Groft sagt fastlagde denne teorem resultatet, at det er umuligt at bruge den aksiomatiske metode til at konstruere en matematisk teori, i en hvilken som helst gren af matematik, der indebærer alle sandheder i den matematikgren. (I England havde Alfred North Whitehead og Bertrand Russell brugt år på et sådant program, som de udgav som Principia Mathematica i tre bind i 1910, 1912 og 1913.) Det er for eksempel umuligt at komme med en aksiomatisk matematisk teori der fanger selv alle sandheder om de naturlige tal (0, 1, 2, 3,
). Dette var et ekstremt vigtigt negativt resultat, som før 1931 mange matematikere forsøgte at gøre det netop - konstruere aksiomsystemer, der kunne bruges til at bevise alle matematiske sandheder. Faktisk brugte flere kendte logikere og matematikere (f.eks. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) betydelige dele af deres karriere på dette projekt. Desværre for dem ødelagde Gödels sætning hele dette aksiomatiske forskningsprogram.
International stjernestatus og flytning til USA
Efter offentliggørelsen af ufuldstændighedsteoremet blev Gödel en internationalt kendt intellektuel figur. Han rejste flere gange til USA og holdt foredrag på Princeton University i New Jersey, hvor han mødte Albert Einstein. Dette var begyndelsen på et tæt venskab, der skulle vare indtil Einsteins død i 1955.
Imidlertid var det også i denne periode, at Gdeles mentale helbred begyndte at forringes. Han led af depressioner, og efter mordet på Moritz Schlick, en af lederne af Wien-cirklen, af en forvirret studerende, led Gödel et nervøst sammenbrud. I de kommende år led han flere flere.
Efter at Nazi-Tyskland annekterede Østrig den 12. marts 1938 befandt Gödel sig i en temmelig akavet situation, blandt andet fordi han havde en lang historie med nære foreninger med forskellige jødiske medlemmer af Wien-cirklen (han var faktisk blevet angrebet på Wiens gader af unge, der troede, at han var jødisk) og delvis fordi han pludselig var i fare for at blive indskrevet i den tyske hær. Den 20. september 1938 giftede Gödel sig med Adele Nimbursky (f. Porkert), og da 2. verdenskrig brød ud et år senere, flygtede han Europa med sin kone og tog den transsibirske jernbane over Asien og sejler over Stillehavet, og tog derefter et andet tog over De Forenede Stater til Princeton, NJ, hvor han ved hjælp af Einstein tiltrådte en stilling ved det nyoprettede Institute for Advanced Studies (IAS). Han tilbragte resten af sit liv på at arbejde og undervise ved IAS, hvorfra han trak sig tilbage i 1976. Gödel blev amerikansk statsborger i 1948. (Einstein deltog i høringen, fordi Gödels adfærd var ret uforudsigelig, og Einstein var bange for, at Gödel kunne sabotere hans egen sag.)
I 1940, kun måneder efter at han ankom til Princeton, udgav Gödel endnu en klassisk matematisk artikel, ”Konsistens af valgets aksiom og af den generaliserede kontinuum-hypotese med Axioms of Set Theory,” som beviste, at det valgte aksiom og kontinuummet hypotese er i overensstemmelse med standard axiomer (såsom Zermelo-Fraenkel aksiomer) i sætteori. Denne etablerede halvdelen af en formodning om Gödels — nemlig at kontinuumhypotesen ikke kunne bevises sand eller falsk i standard sætteorier. Gödels bevis viste, at det ikke kunne bevises forkert i disse teorier. I 1963 demonstrerede den amerikanske matematiker Paul Cohen, at den heller ikke kunne bevises sand i disse teorier, hvilket bekræfter Gödels formodning.
I 1949 gav Gödel også et vigtigt bidrag til fysik, hvilket viste, at Einsteins teori om generel relativitet giver mulighed for tidsrejser.
