János Bolyai, (født 15. december 1802, Kolozsvár, Ungarn [nu Cluj, Rumænien] - død 27. januar 1860, Marosvásárhely, Ungarn [nu Târgu Mureş, Rumænien]), ungarske matematiker og en af grundlæggerne af ikke-euklidisk geometri - en geometri, der adskiller sig fra den euklidiske geometri i sin definition af parallelle linjer. Opdagelsen af en konsistent alternativ geometri, der kunne svare til universets struktur, hjalp med til at frigøre matematikere til at studere abstrakte begreber uanset enhver mulig forbindelse med den fysiske verden.
I en alder af 13 havde Bolyai mestret calculus og analytisk mekanik under ledelse af sin far, matematikeren Farkas Bolyai. Han blev også en dygtig violinist i en tidlig alder og blev senere kendt som en fremragende sværdmand. Han studerede ved Royal Engineering College i Wien (1818–22) og tjente i hærens ingeniørkorps (1822–33).
Den ældste Bolyai's beskæftigelse med at bevise Euclids parallelle aksiom inficerede hans søn, og til trods for sin fars advarsler vedvarede János i sin egen søgning efter en løsning. I de tidlige 1820'ere konkluderede han, at et bevis sandsynligvis var umuligt og begyndte at udvikle en geometri, der ikke var afhængig af Euclids aksiom. I 1831 udgav han "Appendix Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens" ("Appendix Explaining the Absolutely True Science of Space"), et komplet og konsekvent system med ikke-euklidisk geometri som et bilag til sin fars bog om geometri, Tentamen Juventutem Studiosam i Elementa Matheseos Purae Introducendi (1832; “En forsøg på at introducere studerende ungdom til elementerne i ren matematik”).
En kopi af dette arbejde blev sendt til Carl Friedrich Gauss i Tyskland, der svarede, at han havde opdaget de vigtigste resultater nogle år før. Dette var et dybtgående slag for Bolyai, selvom Gauss ikke havde krav på prioritering, da han aldrig havde offentliggjort sine fund. Bolyais essay gik upåagtet af andre matematikere. I 1848 opdagede han, at Nikolay Ivanovich Lobachevsky havde offentliggjort en beretning om næsten den samme geometri i 1829.
Selvom Bolyai fortsatte sine matematiske studier, blev betydningen af hans arbejde ikke anerkendt i hans levetid. Ud over at arbejde med sin ikke-euklidiske geometri udviklede han et geometrisk koncept med komplekse tal som ordnede par reelle tal.
