Analysehistorie
Grækere møder kontinuerlige størrelser
Analyse består af de dele af matematik, hvor kontinuerlig ændring er vigtig. Disse inkluderer studiet af bevægelse og geometrien af glatte kurver og overflader - især beregningen af tangenter, områder og volumener. Gamle græske matematikere gjorde store fremskridt inden for både teori og praksis for analyse. Teorien blev tvunget til dem omkring 500 f.Kr. af den Pythagoreiske opdagelse af irrationelle størrelser og omkring 450 fvt af Zenos bevægelsesparadokser.
Pythagoreerne og irrationelle tal
Oprindeligt troede Pythagoreanerne, at alle ting kunne måles med de diskrete naturlige tal (1, 2, 3,
) og deres forhold (almindelige fraktioner eller de rationelle tal). Denne tro blev imidlertid rystet af opdagelsen af, at diagonalen af en enhedsfyrkant (dvs. en firkant, hvis sider har en længde på 1) ikke kan udtrykkes som et rationelt tal. Denne opdagelse blev fremkaldt af deres egen Pythagoras, som fastslog, at kvadratet på hypotenusen af en retvinklet trekant er lig med summen af kvadraterne på de to andre sider-i moderne notation, c 2 = a 2 + b 2. I en enhedskvadrat er diagonalen hypotenusen for en højre trekant med siderne a = b = 1; derfor er dens mål kvadratrod af √2 - et irrationelt tal. Mod deres egne intentioner havde pythagoreanerne derved vist, at rationelle tal ikke var tilstrækkelige til at måle endda enkle geometriske objekter. (Se Sidebar: Incommensurables.) Deres reaktion var at skabe en aritmetik af linjesegmenter, som findes i bog II af Euclids elementer (ca. 300 fvt), der omfattede en geometrisk fortolkning af rationelle tal. For grækerne var linjesegmenter mere generelle end tal, fordi de omfattede kontinuerlige såvel som diskrete størrelser.
Faktisk kan kvadratrod af √2 kun relateres til de rationelle tal via en uendelig proces. Dette blev realiseret af Euclid, der studerede aritmetikken for både rationelle tal og linjesegmenter. Hans berømte euklidiske algoritme, når han anvendes på et par naturlige tal, fører i et begrænset antal trin til deres største fælles divisor. Når den anvendes på et par linjesegmenter med et irrationelt forhold, såsom kvadratrod af √2 og 1, mislykkes det imidlertid. Euclid brugte endda denne ikke-udryddelsesegenskap som et kriterium for irrationalitet. Irrationalitet udfordrede således det græske talbegreb ved at tvinge dem til at håndtere uendelige processer.
Zenos paradokser og bevægelsesbegrebet
Ligesom kvadratrod af √2 var en udfordring for grækernes antallet af begreber, var Zenos paradokser en udfordring for deres bevægelsesbegreb. I sin fysik (ca. 350 f.Kr.) citerede Aristoteles Zeno således:
Der er ingen bevægelse, fordi det, der flyttes, skal ankomme til midten af [kurset], før det ankommer til slutningen.
Zenos argumenter er kun kendt gennem Aristoteles, der citerede dem hovedsageligt for at tilbagevise dem. Formodentlig betød Zeno, at man først skal gå halvvejs for at komme hvor som helst, og før den en fjerdedel af vejen og før den en ottendedel af vejen og så videre. Fordi denne proces med halvering af afstande fortsatte i det uendelige (et koncept, som grækerne ikke ville acceptere som muligt), hævdede Zeno at "bevise", at virkeligheden består af foranderligt væsen. Trods deres afsky over uendeligheden fandt grækerne stadig, at konceptet var uundværligt i matematikken i kontinuerlige størrelser. Så de begrundede uendelighed så fint som muligt inden for en logisk ramme kaldet proportionersteorien og ved hjælp af udmattelsesmetoden.
Proportionsteorien blev skabt af Eudoxus omkring 350 f.Kr. og bevaret i bog V om Euclids elementer. Det etablerede et nøjagtigt forhold mellem rationelle størrelser og vilkårlige størrelser ved at definere to størrelser for at være ens, hvis de rationelle størrelser mindre end dem var de samme. Med andre ord var to størrelser kun forskellige, hvis der kun var en rationel størrelse mellem dem. Denne definition tjente matematikere i to årtusinder og banede vejen for aritmetisering af analyse i det 19. århundrede, hvor vilkårlige tal blev defineret nøje med hensyn til de rationelle tal. Proportionsteorien var den første strenge behandling af begrebet grænser, en idé, der er kernen i moderne analyse. I moderne termer definerede Eudoxus 'teori vilkårlige størrelser som grænser for rationelle størrelser, og grundlæggende teoremer om summen, forskellen og størrelsen af produktet svarede til sætninger om summen, forskellen og produktet af grænser.
