Albert Einstein på rumtid

Euklidisk geometri

Hvis vi overvejer euklidisk geometri, skelner vi tydeligt, at det henviser til de love, der regulerer stive legems positioner. Det tager hensyn til den geniale tanker om at spore tilbage alle relationer, der vedrører kroppe og deres relative positioner til det meget enkle begreb "afstand" (Strecke). Afstand angiver et stift legeme, hvorpå der er specificeret to materialepunkter (mærker). Begrebet lighed mellem afstande (og vinkler) henviser til eksperimenter, der involverer tilfældigheder; de samme bemærkninger gælder teoreme om kongruens. Nu bruger euklidisk geometri, i den form, i hvilken den er blevet afleveret til os fra Euclid, de grundlæggende begreber "lige linje" og "plan", som ikke ser ud til at stemme overens med eller i hvert fald ikke så direkte med oplevelser vedrørende positionen af ​​stive organer. På dette punkt skal det bemærkes, at begrebet lige linje kan reduceres til afstanden.¹ Desuden var geometrikere mindre optaget af at bringe forholdet mellem deres grundlæggende begreber til oplevelse frem end med logisk at trække de geometriske propositioner fra et par aksiomer, der var udtalt i starten.

Lad os kort skitsere, hvordan måske grundlaget for euklidisk geometri kan opnås ved begrebet afstand.

Vi starter fra ligestilling af afstande (aksiom af ligestilling af afstande). Antag, at den af ​​to ulige afstande altid er større end den anden. De samme aksiomer skal holdes for uligheden i afstande som for uligheden i tal.

Tre afstande AB ¹, BC ¹, CA ¹ kan, hvis CA ¹ vælges passende, have deres mærker BB ¹, CC ¹, AA ¹ superponeret på hinanden på en sådan måde, at der opnås en trekant ABC. Afstanden CA ¹ har en øvre grænse, for hvilken denne konstruktion stadig kun er mulig. Punktene A, (BB ') og C ligger derefter i en "lige linje" (definition). Dette fører til koncepterne: producerer en afstand med et beløb, der er lig med sig selv; opdele en afstand i lige store dele; at udtrykke en afstand i form af et tal ved hjælp af en målestang (definition af mellemrummet mellem to punkter).

Når begrebet interval mellem to punkter eller længden af ​​en afstand er opnået på denne måde, kræver vi kun følgende aksiom (Pythagoras 'teorem) for at ankomme til den euklidiske geometri analytisk.

Til hvert punkt i rummet (referencemængde) kan tre tal (koordinater) x, y, z tildeles - og omvendt - på en sådan måde, at for hvert par af punkter A (x ₁, y ₁, z ₁) og B (x ₂, y ₂, z ₂) teorem indeholder:

måle-nummer AB = sqroot {(x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² + (z ₂ - z ₁) ² }.

Alle yderligere koncepter og forslag om euklidisk geometri kan derefter opbygges rent logisk på dette grundlag, især også forslagene om den rette linje og planet.

Disse bemærkninger er naturligvis ikke beregnet til at erstatte den strengt aksiomatiske konstruktion af den euklidiske geometri. Vi ønsker blot at angive plausibelt, hvordan alle forestillinger om geometri kan spores tilbage til afstanden. Vi kunne lige så godt have gengivet hele grundlaget for den euklidiske geometri i den sidste sætning ovenfor. Forholdet til erfaringerne vil derefter blive tilvejebragt ved hjælp af en supplerende sætning.

Koordinaten kan og skal vælges, så to par punkter adskilt med lige intervaller, beregnet ved hjælp af Pythagoras 'teorem, kan fås til at falde sammen med en og samme passende valgte afstand (på et fast stof).

Begreberne og forslagene fra den euklidiske geometri kan stamme fra Pythagoras 'forslag uden introduktion af stive legemer; men disse begreber og forslag ville ikke have indhold, der kunne testes. Det er ikke ”ægte” forslag, men kun logisk korrekte forslag med rent formelt indhold.